주사위에 대한 확률입니다. 주사위 확률

수업 목표:

학생들은 다음을 알아야 합니다:

• 무작위 사건의 확률을 결정하는 단계;
• 무작위 사건의 확률을 찾기 위해 문제를 풀 수 있습니다.
• 이론적 지식을 실제로 적용할 수 있다.

수업 목표:

교육적: 사건의 확률 개념을 바탕으로 학생들이 지식, 기술 및 능력 시스템을 습득할 수 있는 조건을 조성합니다.

교육적: 학생들의 과학적 세계관 형성

발달적: 학생들의 인지적 관심, 창의성, 의지, 기억력, 말하기, 주의력, 상상력, 지각력을 개발합니다.

교육 및 인지 활동을 조직하는 방법:

• 시각적,
• 현실적인,
• 정신 활동에 의한: 유도적,
• 물질의 동화에 따라: 부분적으로 검색, 재생산,
• 독립 정도에 따라: 독립적인 작업,
• 자극하다: 격려하다,
• 제어 유형: 독립적으로 해결된 문제를 확인합니다.

강의 계획

1. 구강 운동
2. 새로운 자료를 학습
3. 작업 해결.
4. 독립적 인 일.
5. 수업을 요약합니다.
6. 숙제에 대한 코멘트.

장비 : 멀티미디어 프로젝터(프레젠테이션), 카드(자체작업)

수업 중에는

I. 조직적인 순간.

수업 전반에 걸친 수업 구성, 학생들의 수업 준비, 질서 및 규율.

전체 수업과 개별 단계 모두에 대해 학생들의 학습 목표를 설정합니다.

이 주제와 전체 과정에서 연구되는 자료의 중요성을 결정합니다.

II. 되풀이

1. 확률이란 무엇입니까?

확률은 어떤 일이 일어나거나 실현 가능하다는 가능성입니다.

2. 현대 확률 이론의 창시자 A.N. 콜모고로프?

수학적 확률은 무제한으로 반복될 수 있는 특정 조건에서 특정 사건이 발생할 가능성의 정도를 수치적으로 나타내는 특성입니다.

3. 학교 교과서 저자들이 제시한 확률의 고전적인 정의는 무엇입니까?

동일한 기본 결과가 가능한 시행에서 사건 A의 확률 P(A)는 시행의 모든 ​​결과 수 n에 대한 사건 A에 유리한 결과 수의 비율입니다.

결론: 수학에서 확률은 숫자로 측정됩니다.

오늘 우리는 "주사위"의 수학적 모델을 계속해서 고려할 것입니다.

확률 이론의 연구 주제는 특정 조건에서 나타나며 횟수 제한 없이 재현될 수 있는 사건입니다. 이러한 조건이 발생할 때마다 테스트라고 합니다.

테스트 - 던지기 주사위.

이벤트 - 6이 굴림 또는짝수의 포인트를 굴립니다.

주사위를 여러 번 굴릴 때 각 면이 나올 확률은 동일합니다(주사위는 공평합니다).

III. 구강 문제 해결.

1. 주사위(주사위)는 한 번 던졌습니다. 4가 나올 확률은 얼마입니까?

해결책. 무작위 실험이 주사위를 던지는 것입니다. 이벤트 - 떨어진 쪽의 숫자입니다. 얼굴은 6개뿐입니다. 1, 2, 3, 4, 5, 6의 모든 이벤트를 나열해 보겠습니다. 피= 6. 이벤트 A = (4점 굴림) 하나의 이벤트가 선호됩니다: 4. 따라서 티= 1. 주사위가 공평하다고 가정하므로 사건은 똑같이 가능합니다. 따라서 P(A) = t/n= 1/6 = 0,17.

2. 주사위(주사위)는 한 번 던졌습니다. 4점 이하가 나올 확률은 얼마입니까?

피= 6. 이벤트 A = (4점 이하 굴림)은 4가지 이벤트(1, 2, 3, 4)에 의해 선호됩니다. 따라서 티= 4. 따라서 P(A) = t/n= 4/6 = 0,67.

3. 주사위(주사위)는 한 번 던졌습니다. 4점 미만으로 굴릴 확률은 얼마입니까?

해결책. 무작위 실험이 주사위를 던지는 것입니다. 이벤트 - 떨어진 쪽의 숫자입니다. 수단 피= 6. 이벤트 A = (4점 미만 굴림)은 3가지 이벤트(1, 2, 3)에 의해 선호됩니다. 따라서 티= 3. P(A) = t/n= 3/6 = 0,5.

4. 주사위(주사위)는 한 번 던졌습니다. 홀수 포인트가 나올 확률은 얼마입니까?

해결책. 무작위 실험이 주사위를 던지는 것입니다. 이벤트 - 떨어진 쪽의 숫자입니다. 수단 피= 6. 이벤트 A = (홀수의 포인트가 굴림)는 3개의 이벤트(1,3,5)에 의해 선호됩니다. 그렇기 때문에 티= 3. P(A) = t/n= 3/6 = 0,5.

IV. 새로운 것을 배우기

오늘 우리는 무작위 실험에서 두 개의 주사위를 사용하거나 두세 번 던질 때 발생하는 문제를 고려해 보겠습니다.

1. 무작위 실험에서는 두 개의 주사위를 굴렸습니다. 추첨된 포인트의 합이 6일 확률을 구합니다. 답은 소수점 이하 자리에서 반올림하세요. .

해결책. 이 실험의 결과는 숫자의 순서쌍입니다. 첫 번째 숫자는 첫 번째 주사위에 나타나고 두 번째 숫자는 두 번째 주사위에 나타납니다. 일련의 결과를 표로 제시하는 것이 편리합니다.

행은 첫 번째 주사위의 포인트 수에 해당하고 열은 두 번째 주사위의 포인트 수에 해당합니다. 총 초등학교 행사 피= 36.

	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

각 셀에 굴린 포인트의 합과 합이 6이 되는 셀에 색을 적어보겠습니다.

그러한 셀이 5개 있습니다. 즉, 이벤트 A =(추출된 포인트의 합은 6)가 5개의 결과에 의해 선호된다는 의미입니다. 따라서, 티= 5. 따라서 P(A) = 5/36 = 0.14입니다.

2. 무작위 실험에서는 두 개의 주사위를 굴렸습니다. 총합이 3점이 될 확률을 구해 보세요. 결과를 100분의 1로 반올림 .

피= 36.

이벤트 A = (합계 3)은 2개의 결과에서 선호됩니다. 따라서, 티= 2.

따라서 P(A) = 2/36 = 0.06입니다.

3. 무작위 실험에서는 두 개의 주사위를 굴렸습니다. 총합이 10점 이상이 될 확률을 구해 보세요. 결과를 100분의 1로 반올림 .

해결책. 이 실험의 결과는 숫자의 순서쌍입니다. 총 이벤트 피= 36.

이벤트 A = (총 10점 이상이 굴림)는 3개의 결과에 의해 선호됩니다.

따라서, 티

4. 류바는 주사위를 두 번 던졌습니다. 전체적으로 그녀는 9점을 얻었습니다. 던진 결과 중 하나가 5점일 확률을 구합니다. .

솔루션 이 실험의 결과는 숫자의 순서쌍입니다. 첫 번째 숫자는 첫 번째 던질 때 나타나고 두 번째 숫자는 두 번째 던질 때 나타납니다. 일련의 결과를 표로 제시하는 것이 편리합니다.

행은 첫 번째 던지기의 결과에 해당하고 열은 두 번째 던지기의 결과에 해당합니다.

총점이 9점인 총 이벤트 피= 4. 이벤트 A = (던지기 중 하나가 5점을 얻었습니다)는 2개의 결과로 우세합니다. 따라서, 티= 2.

따라서 P(A) = 2/4 = 0.5입니다.

5. 스베타는 주사위를 두 번 던졌습니다. 전체적으로 그녀는 6점을 얻었습니다. 던진 결과 중 하나가 1점일 확률을 구합니다.

첫 번째 던지기		두 번째 던지기		포인트 합

똑같이 가능한 결과는 5개입니다.

사건의 확률은 p = 2/5 = 0.4입니다.

6. Olya는 주사위를 두 번 던졌습니다. 그녀는 총 5점을 받았습니다. 첫 번째 주사위에서 3점을 얻을 확률을 구하세요.

첫 번째 던지기		두 번째 던지기		포인트 합
	+		=
	+		=
	+		=
	+		=

똑같이 가능한 결과는 4개입니다.

유리한 결과 – 1.

사건의 확률 아르 자형= 1/4 = 0,25.

7. 나타샤와 비챠가 주사위 놀이를 하고 있습니다. 그들은 주사위를 한 번 굴립니다.

더 많은 점수를 던지는 사람이 승리합니다. 점수가 같으면 무승부가 됩니다. 총 8개의 포인트가 있습니다. 나타샤가 이길 확률을 구하세요.

				포인트 합
	+		=
	+		=
	+		=
	+		=
	+		=

똑같이 가능한 결과는 5개입니다.

유리한 결과 – 2.

사건의 확률 아르 자형= 2/5 = 0,4.

8. 타냐와 나타샤가 주사위 놀이를 하고 있습니다. 그들은 주사위를 한 번 굴립니다. 더 많은 점수를 던지는 사람이 승리합니다. 점수가 같으면 무승부가 됩니다. 총 6점이 나왔습니다. 타냐가 패했을 확률을 구해보세요.

타냐		나타샤		포인트 합
	+		=
	+		=
	+		=
	+		=
	+		=

똑같이 가능한 결과는 5개입니다.

유리한 결과 – 2.

사건의 확률 아르 자형= 2/5 = 0,4.

9. Kolya와 Lena가 주사위 놀이를 하고 있습니다. 그들은 주사위를 한 번 굴립니다. 더 많은 점수를 던지는 사람이 승리합니다. 점수가 같으면 무승부가 됩니다. 콜야가 가장 먼저 공을 던져 3점을 얻었다. Lena가 이기지 못할 확률을 구하십시오.

Kolya는 3점을 얻었습니다.

Lena는 6개의 동일한 결과를 가지고 있습니다.

패배하면 유리한 결과가 3개 있습니다(1, 2, 3).

사건의 확률 아르 자형= 3/6 = 0,5.

10. 마샤는 주사위를 세 번 던졌습니다. 세 번 모두 짝수가 나올 확률은 얼마입니까?

마샤는 6 6 6 = 216개의 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.

3 · 3 · 3 = 27개의 유리한 결과가 있습니다.

사건의 확률 아르 자형= 27/216 = 1/8 = 0,125.

11. 무작위 실험에서 세 개의 주사위가 굴렸습니다. 총합이 16점이 될 확률을 구하세요. 결과를 100분의 1로 반올림합니다.

해결책.

		두번째		제삼		포인트 합
	+		+		=
	+		+		=
	+		+		=
	+		+		=
	+		+		=
	+		+		=

똑같이 가능한 결과 – 6 6 6 = 216.

유리한 결과 - 6.

사건의 확률 아르 자형= 6/216 = 1/36 = 0.277... = 0.28. 따라서, 티= 3. 따라서 P(A) = 3/36 = 0.08입니다.

V. 독립적인 작업.

옵션 1.

1. 주사위(주사위)는 한 번 던집니다. 최소 4점을 굴릴 확률은 얼마입니까? (답:0.5)
2. 무작위 실험에서는 주사위 두 개를 굴렸습니다. 총합이 5점이 될 확률을 구해 보세요. 결과를 100분의 1로 반올림합니다. (답: 0.11)
3. Anya는 주사위를 두 번 굴립니다. 그녀는 총 3점을 받았습니다. 첫 번째 굴림에서 1점을 얻을 확률을 구하세요. (답:0.5)
4. Katya와 Ira가 주사위 놀이를 하고 있습니다. 그들은 주사위를 한 번 굴립니다. 더 많은 점수를 던지는 사람이 승리합니다. 점수가 같으면 무승부가 됩니다. 총점은 9점입니다. Ira가 패배할 확률을 구하세요. (답:0.5)
5. 무작위 실험에서는 세 개의 주사위를 굴렸습니다. 총합이 15점이 될 확률을 구하세요. 결과를 100분의 1로 반올림합니다. (답:0.05)

옵션 2.

1. 주사위(주사위)는 한 번 던집니다. 3점 이하가 나올 확률은 얼마입니까? (답:0.5)
2. 무작위 실험에서는 주사위 두 개를 굴렸습니다. 총합이 10점이 될 확률을 구해 보세요. 결과를 100분의 1로 반올림합니다. (답:0.08)
3. Zhenya는 주사위를 두 번 던졌습니다. 그녀는 총 5점을 받았습니다. 첫 번째 주사위에서 2점을 얻을 확률을 구하세요. (답:0.25)
4. 마샤와 다샤가 주사위 놀이를 하고 있어요. 그들은 주사위를 한 번 굴립니다. 더 많은 점수를 던지는 사람이 승리합니다. 점수가 같으면 무승부가 됩니다. 총 11점이었습니다. 마샤가 이길 확률을 구하세요. (답:0.5)
5. 무작위 실험에서는 세 개의 주사위를 굴렸습니다. 총합이 17점이 될 확률을 구하세요. 결과를 반올림

6. 숙제

1. 무작위 실험에서는 세 개의 주사위를 굴렸습니다. 총 12개의 포인트가 있습니다. 첫 번째 주사위에서 5점을 얻을 확률을 구하고 그 결과를 소수점 이하 자리에서 반올림합니다.
2. Katya는 주사위를 세 번 던졌습니다. 세 번 모두 같은 숫자가 나올 확률은 얼마입니까?

Ⅶ. 수업 요약

무작위 사건의 확률을 찾으려면 무엇을 알아야 합니까?

고전적 확률을 계산하려면 사건의 가능한 모든 결과와 유리한 결과를 알아야 합니다.

확률의 고전적 정의는 결과가 동일할 가능성이 있는 사건에만 적용 가능하므로 범위가 제한됩니다.

우리는 왜 학교에서 확률론을 공부하나요?

우리 주변 세계의 많은 현상은 확률 이론을 통해서만 설명할 수 있습니다.

문학

1. 대수학과 수학적 분석의 시작 10-11학년: 교과서. 일반 교육 기관의 경우: 기본 수준 / [Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva 등]. – 16판, 개정. – M .: 교육, 2010. – 464p.
2. 세메노프 A.L. 통합 상태 시험: 수학 답변이 포함된 3000개 문제. 그룹 B의 모든 작업 – 3판, 개정. 그리고 추가 – M .: 출판사 “시험”, 2012. – 543 p.
3. Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. 통합 상태 시험 2012. 수학. 문제 B10. 확률 이론. 학습장/에드. A.L. Semenov 및 I.V. Yashchenko. – M .: MCSHMO, 2012. – 48p.

다음에 대한 작업 주사위의 확률동전 던지기 문제만큼 인기가 없습니다. 이러한 문제의 조건은 일반적으로 다음과 같습니다. 하나 이상의 주사위(2 또는 3)를 던질 때 점수의 합이 10이 될 확률, 또는 점수가 4가 될 확률은 얼마입니까? 포인트 수의 곱 또는 포인트 수를 2로 나눈 값 등입니다.

이러한 유형의 문제를 해결하는 주요 방법은 고전 확률 공식을 적용하는 것입니다.

하나의 주사위, 확률.

상황은 하나의 주사위로 매우 간단합니다. P=m/n 공식에 의해 결정됩니다. 여기서 m은 이벤트에 유리한 결과의 수이고, n은 뼈나 큐브를 던지는 실험에서 동일하게 가능한 모든 기본 결과의 수입니다.

문제 1. 주사위는 한 번 던집니다. 짝수점을 받을 확률은 얼마나 되나요?

주사위는 큐브이기 때문에(또는 일반 주사위라고도 하며, 주사위는 균형이 잡혀 있으므로 모든 면에 동일한 확률로 떨어집니다.) 주사위에는 6개의 면(1에서 6까지의 포인트 수)이 있습니다. 일반적으로 점으로 표시됨) 이는 문제에 총 결과 수(n=6)가 있음을 의미합니다. 이 이벤트는 짝수 점 2,4, 6이 있는 쪽이 나타나는 결과에만 유리합니다. 주사위에는 다음과 같은 면이 있습니다: m=3. 이제 우리는 원하는 주사위 확률을 결정할 수 있습니다: P=3/6=1/2=0.5.

작업 2. 주사위를 한 번 던집니다. 최소 5점을 얻을 확률은 얼마입니까?

이 문제는 위에 주어진 예를 유추하여 해결됩니다. 주사위를 던질 때 균등하게 나올 수 있는 결과의 총 개수는 n=6이고, 2개의 결과만이 문제의 조건을 만족합니다(적어도 5점을 합산, 즉 5~6점을 합산). 이는 m을 의미합니다. =2. 다음으로 필요한 확률인 P=2/6=1/3=0.333을 찾습니다.

주사위 두 개, 확률.

주사위 2개를 던지는 문제를 해결할 때 특별한 점수표를 사용하는 것이 매우 편리합니다. 그 위에는 첫 번째 주사위에 떨어진 점수가 가로로 표시되고, 두 번째 주사위에 떨어진 점수가 세로로 표시됩니다. 공작물은 다음과 같습니다.

그러나 질문이 생깁니다. 테이블의 빈 셀에는 무엇이 있을까요? 해결해야 할 문제에 따라 다릅니다. 문제가 점수 합계에 관한 것이라면 합계가 거기에 기록되고, 차이에 관한 것이라면 차이가 기록되는 식입니다.

문제 3. 주사위 2개를 동시에 던집니다. 5점 미만을 받을 확률은 얼마나 됩니까?

먼저, 실험 결과의 총 개수가 얼마나 되는지 파악해야 합니다. 하나의 주사위, 주사위의 6개 면, 6개의 실험 결과를 던지면 모든 것이 분명해졌습니다. 그러나 이미 두 개의 주사위가 있는 경우 가능한 결과는 (x, y) 형식의 숫자 쌍으로 표시될 수 있습니다. 여기서 x는 첫 번째 주사위에서 굴린 포인트 수(1에서 6까지)를 나타내고 y는 - 두 번째 주사위에 몇 개의 점수가 굴렸는지(1부터 6까지) n=6*6=36(결과 표에서는 정확히 36개 셀에 해당함)과 같은 숫자 쌍이 총 개수됩니다.

이제 표를 작성할 수 있습니다. 이를 위해 첫 번째와 두 번째 주사위에 떨어진 점수가 각 셀에 입력됩니다. 완성된 테이블은 다음과 같습니다.

표를 사용하여 이벤트에 유리한 결과 수를 결정합니다. "총 5점 미만이 나타납니다." 합계 값이 숫자 5(2, 3, 4)보다 작은 셀 수를 세어 보겠습니다. 편의상 이러한 셀 위에 페인트를 칠합니다. m=6이 됩니다.

테이블 데이터를 고려하면, 주사위의 확률같음: P=6/36=1/6.

문제 4. 주사위 두 개를 던졌습니다. 포인트 개수의 곱이 3으로 나누어질 확률을 구합니다.

문제를 해결하기 위해 첫 번째 주사위와 두 번째 주사위에 떨어진 점수를 곱한 표를 만들어 보겠습니다. 그 안에서 우리는 3의 배수인 숫자를 즉시 ​​강조 표시합니다.

실험 결과의 총 개수 n=36(이론은 앞선 문제와 동일), 유리한 결과의 개수(표에서 음영 처리된 셀의 개수) m=20으로 적는다. 사건의 확률은 P=20/36=5/9입니다.

문제 5. 주사위를 두 번 던졌습니다. 첫 번째 주사위와 두 번째 주사위의 점수 차이가 2에서 5가 될 확률은 얼마입니까?

결정 주사위의 확률포인트 차이 테이블을 작성하고 차이 값이 2에서 5 사이인 셀을 선택해 보겠습니다.

유리한 결과의 수(표에서 음영 처리된 셀의 수)는 m=10이고, 동일하게 가능한 기본 결과의 총 수는 n=36입니다. 사건의 확률을 결정합니다: P=10/36=5/18.

간단한 이벤트의 경우 주사위 2개를 던질 때 테이블을 만든 다음 필요한 셀을 선택하고 해당 숫자를 36으로 나누어야 하며 이는 확률로 간주됩니다.

문제 19 ( 오게 - 2015, 야쉬첸코 I.V.)

Olya, Denis, Vitya, Arthur 및 Rita는 누가 게임을 시작해야 하는지에 대해 제비를 뽑았습니다. 리타가 게임을 시작할 확률을 구하세요.

해결책

총 5명이 게임을 시작할 수 있습니다.

답: 0.2.

문제 19 ( 오게 - 2015, 야쉬첸코 I.V.)

Misha의 주머니에는 "Grillage", "Mask", "Squirrel", "Little Red Riding Hood"라는 사탕 4개와 아파트 열쇠가 들어 있었습니다. 열쇠를 꺼내던 중 미샤는 실수로 사탕 한 개를 떨어뜨렸습니다. 마스크 사탕이 분실될 확률을 구해보세요.

해결책

총 4가지 옵션이 있습니다.

미샤가 마스크 사탕을 떨어뜨릴 확률은 다음과 같습니다.

답: 0.25.

문제 19 ( 오게 - 2015, 야쉬첸코 I.V.)

주사위(주사위)는 한 번 던집니다. 굴린 숫자가 3 이상이 될 확률은 얼마입니까?

해결책

주사위에 점수를 매기는 방법에는 총 6가지 옵션이 있습니다.

3개 이상의 포인트 수는 3,4,5,6, 즉 4개의 옵션이 될 수 있습니다.

이는 확률이 P = 4/6 = 2/3임을 의미합니다.

답: 2/3.

문제 19 ( 오게 - 2015, 야쉬첸코 I.V.)

할머니는 손자 Ilyusha에게 여행을 위해 무작위로 선택한 과일을 주기로 결정했습니다. 그녀는 녹색 사과 3개, 녹색 배 3개, 노란색 바나나 2개를 가지고 있었습니다. 일리아가 할머니로부터 녹색 과일을 받을 확률을 구해 보세요.

해결책

3+3+2 = 8 - 총 과일. 이 중 6개는 녹색입니다(사과 3개, 배 3개).

그러면 Ilya가 할머니로부터 녹색 과일을 받을 확률은 다음과 같습니다.

P = 6/8 = 3/4 = 0.75.

답: 0.75.

문제 19 ( 오게 - 2015, 야쉬첸코 I.V.)

주사위는 두 번 던져집니다. 3보다 큰 숫자가 두 번 나올 확률을 구합니다.