개연성 반대 이벤트(시간이 지나도 오류 없는 작동 티) 동일하다 R(t) = P(T>t) = 1 - F(t).

정의. 신뢰성 기능R(티)시간이 지남에 따라 장치가 고장 없이 작동할 확률을 결정하는 함수입니다. 티.

자주 ~에 관행무고장 작동 기간은 지수 분포 법칙의 적용을 받습니다.

조금도 말하기, 만약에새로운 장치를 고려하면 작동 시작 시 실패 확률이 더 커지고 실패 횟수가 줄어들고 한동안 거의 동일한 값을 갖게 됩니다. 그러면 (장치의 리소스가 소진되면) 실패 횟수가 늘어납니다.

기타 단어, 전체 존재(고장 횟수 측면에서)에 걸쳐 장치의 기능은 두 가지 지수 법칙(작동 시작 및 끝)과 균일 분포 법칙의 조합으로 설명할 수 있다고 말할 수 있습니다.

지수 분포 법칙에 따른 모든 장치의 신뢰도 함수는 다음과 같습니다.

이 비율을 이라고 합니다. 신뢰도 지수 법칙.

중요한 재산신뢰성 이론 문제의 해결을 크게 단순화할 수 있는 것은 시간 간격에 걸쳐 장치가 고장 없이 작동할 확률이 티고려 중인 간격이 시작되기 전의 이전 작업 시간에 의존하지 않고 지속 시간에만 의존합니다. 티.

그래서 방법, 장치의 무고장 작동은 고장률 l에만 의존하며 과거 장치의 무고장 작동에는 의존하지 않습니다.

비슷한 성질을 가지고 있기 때문에지수 분포 법칙만 있는 경우 이 사실을 통해 확률 변수의 분포 법칙이 지수 분포 법칙인지 여부를 결정할 수 있습니다.

2.8 카이제곱 분포

X를 i라고 하자(i=1,2,…,n)- 일반적인 독립 확률 변수이며 각각의 수학적 기대값은 0이고 표준 편차는 1입니다. 그런 다음 이 양의 제곱의 합은

k=n 자유도를 갖는 법칙("카이제곱")에 따라 분포됩니다. 예를 들어 이러한 양이 하나의 선형 관계로 관련되어 있으면 자유도 k=n-1입니다.

이 분포의 밀도

어디 -감마 기능; 특히,

여기에서 그것은 보인다카이제곱 분포는 하나의 매개변수, 즉 자유도 k에 의해 결정됩니다. 자유도가 증가함에 따라 분포는 천천히 정규 분포에 가까워집니다.

2.9 학생 분포

Z를 M(Z)=0, s(Z)=1인 정규 확률 변수로 두고, V를 k 자유도를 갖는 법칙에 따라 분포되는 Z와 독립 변수로 둡니다. 그런 다음 값

t-분포 또는 스튜던트 분포(k 자유도)라는 분포가 있습니다. 따라서 정규화된 정규 변수와 독립 확률 변수의 제곱근의 비율은 법칙에 따라 분포됩니다.

« 자유도가 k인 카이제곱, k로 나눈 값은 k로 나눈 자유도가 k인 스튜던트 법칙에 따라 분포됩니다. . 자유도가 증가함에 따라 분포는 천천히 정규 분포에 가까워집니다.

2.9 정규분배의 법칙

정의. 정상확률 밀도로 설명되는 연속 확률 변수의 확률 분포입니다.

정규분포의 법칙은 가우스의 법칙이라고도 합니다.

정규분포 법칙은 확률 이론에서 중심 위치를 차지합니다. 이는 이 법칙이 무작위 변수가 다양한 요인의 작용 결과인 모든 경우에 나타나기 때문입니다. 다른 모든 유통법은 정규법에 접근합니다.

할 수 있다 용이하게 보여주다분포 밀도에 포함된 모수와 는 각각 확률 변수 X의 수학적 기대값과 표준 편차입니다.

분포함수를 구해보자 에프엑스(F(x)).

정규 분포의 밀도 플롯을 정규 곡선 또는 가우스 곡선이라고 합니다.

정규곡선에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

1 ) 함수는 수직선 전체에 정의됩니다.

2 ) 모두 앞에서 엑스분포 함수는 양수 값만 취합니다.

3 ) OX 축은 확률 밀도 그래프의 수평 점근선입니다. 인수의 절대값이 무제한으로 증가합니다. 엑스, 함수의 값은 0이 되는 경향이 있습니다.

4 ) 함수의 극값을 찾아봅시다.

왜냐하면 ~에 와이' > 0~에 엑스< m 그리고 와이'< 0 ~에 x > m, 그러면 그 시점에서 x = 티함수의 최대값은 와 같습니다.

5 ) 함수는 직선을 기준으로 대칭입니다. x = 에이, 왜냐하면 차이점

(x-a)는 제곱 분포 밀도 함수에 포함됩니다.

6 ) 그래프의 변곡점을 찾기 위해 밀도 함수의 2차 도함수를 찾습니다.

~에 x = m+ 및 x = m- 2차 도함수는 0과 같고, 이 점들을 통과할 때 부호가 변경됩니다. 이 지점에서 함수에는 변곡점이 있습니다.

연속 확률 변수 $X$는 확률 분포 밀도 $f\left(x\right)$가 다음 형식을 갖는 경우 지수(지수) 확률 분포 법칙을 따릅니다.

$$f(x)=\왼쪽\(\시작(행렬)
0.\x< 0\\
\lambda e^(-\lambda x),\ x\ge 0
\end(행렬)\right..$$

그런 다음 분포 함수는 다음과 같습니다.

$$F(x)=\왼쪽\(\시작(행렬)
0.\x< 0\\
1-e^(-\lambda x),\ x\ge 0
\end(행렬)\right.$$

밀도 함수 $f\left(x\right)$ 및 분포 $F\left(x\right)$의 그래프가 그림에 표시됩니다.

지수 분포 법칙의 경우 알려진 공식을 사용하여 수치적 특성을 계산할 수 있습니다. 기대값그리고 표준 편차서로 같고 $1/\lambda $와 같습니다. 즉:

$$M\left(X\right)=\sigma \left(X\right)=((1)\over (\lambda )).$$

분산:

$$D\left(X\right)=((1)\over ((\lambda )^2)).$$

통계적 의미에서 분포 매개변수 $\lambda $는 단위 시간당 발생하는 평균 이벤트 수를 나타냅니다. 따라서 장치의 오류 없는 평균 작동 기간이 $1/\lambda $인 경우 $\lambda $ 매개변수는 단위 시간당 평균 오류 수를 나타냅니다. 지수 분포 법칙이 적용되는 확률 변수의 예는 다음과 같습니다.

• 전화 통화 기간
• 고객 서비스에 소요된 시간
• 고장 사이의 장치 작동 기간
• 주유소에 자동차가 나타나는 시간 간격.

예 . 확률 변수 $X$는 지수 법칙 $f\left(x\right)=\left\(\begin(matrix)에 따라 분포됩니다.
0.\x< 0\\
5e^(-5x),\ x\ge 0
\end(행렬)\right.$. 그런 다음 수학적 기대 $=$ 표준 편차 $\sigma (X)=1/\lambda =1/5=0.2$, 분산 $D(X)=1/(\lambda )^2=1/25=0 입니다. 04.$

예 . 장치의 작동 시간은 지수 분포에 따라 임의 변수 $X$입니다. 이 장치의 평균 작동 시간은 $500$시간인 것으로 알려져 있습니다. 이 장치가 최소 $600$ 시간 동안 작동할 확률은 얼마입니까?

확률 변수 $X$의 수학적 기대값은 $M\left(X\right)=500=1/\lambda $와 동일하므로 분포 매개변수 $\lambda =1/500=0.002.$는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 분포 기능:

$$F(x)=\왼쪽\(\시작(행렬)
0.\x< 0\\
1-e^(-\lambda x)=1-e^(-0.002x),\ x\ge 0
\end(행렬)\right.$$

그러면 장치가 $600$ 시간 미만으로 작동할 확률은 다음과 같습니다.

$$P\왼쪽(X\ge 600\오른쪽)=1-P\왼쪽(X< 600\right)=1-F\left(600\right)=1-\left(1-e^{-0,002\cdot 600}\right)\approx 0,301.$$

지수(지수) 분포

경영 의사결정 및 기타 응용 연구에 널리 사용되는 분포 계열, 즉 지수 분포 계열을 고려해 보겠습니다. 확률을 분석해보자!! 그러한 분포를 유도하는 모델. 이를 위해서는 "사건의 흐름"을 고려하십시오. 특정 시점에 차례로 발생하는 일련의 사건. 예를 들면 다음과 같습니다: 컴퓨터 시스템의 가동 시간, 교차로의 정지선에 자동차가 연속적으로 도착하는 간격, 은행 지점으로의 고객 요청 흐름; 상품 및 서비스를 신청하는 구매자의 흐름 전화 교환기에서의 통화 흐름; 기술 체인의 장비 고장 흐름 등

사건 흐름 이론에서는 사건 흐름의 합산 정리가 유효합니다. 전체 흐름은 다수의 독립적인 부분 흐름으로 구성되며, 그 중 어느 것도 전체 흐름에 지배적인 영향을 미치지 않습니다. 따라서 전화 교환기에 들어가는 통화 흐름은 개별 가입자로부터 발생하는 수많은 독립적인 통화 흐름으로 구성됩니다. 흐름의 특성이 시간에 의존하지 않는 경우 전체 흐름은 하나의 숫자로 완전히 설명됩니다. 엑스-흐름 강도. 전체 흐름의 경우 랜덤 변수의 분포 함수 엑스-연속적인 사건 사이의 시간 간격의 길이는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

이 분포를 지수(지수) 분포라고 합니다. 이 기능에는 때때로 이동 매개변수가 포함됩니다. c.

지수 분포에는 특성을 결정하는 매개변수가 하나만 있습니다. 분포 밀도의 형식은 다음과 같습니다.

어디 엑스-일정한 양수 값.

함수 그래프 /(엑스)그림에 표시됩니다. 9.12.

쌀. 9.12.

그림에서. 그림 9.13은 다양한 매개변수에 대한 지수 분포의 밀도 그래프를 보여줍니다. 엑스.

지수 분포는 일정한 강도로 발생하는 독립적인 사건 간의 시간 분포를 나타냅니다. 지수법칙은 무작위 변수 분포의 특징이며, 그 변화는 일부 지배적인 요인의 영향으로 인해 발생합니다. 신뢰성 이론에서 이 분포는 갑작스러운 실패의 분포를 설명합니다. 왜냐하면 후자는 드문 사건이기 때문입니다. 지수 분포는 또한 다음을 설명하는 역할을 합니다.

쌀. 9.13.다양한 매개변수에 대한 지수 분포 밀도 엑스

시운전 기간을 거친 복잡한 시스템의 작동 시간, 그리고 시스템 장애에 큰 영향을 미치지 않는 다수의 직렬 연결된 요소가 있는 시스템의 가동 시간을 설명합니다.

지수 분포 법칙의 이론적 빈도는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

어디 N- 인구의 양; 1g ~- 간격 길이; 이자형- 자연 로그의 밑수; 엑스- 학급 평균의 조건부 편차:

지수 법칙에 따른 경험적 분포(표 9.4)의 정렬을 고려해 보겠습니다.

표 9.4

지수 분포를 평활화하기 위한 경험적 빈도

우리는 아니= 160; bk = 41; x = 54.59. 클래스 평균, 보조 값의 조건부 편차 값 계산 이자형 _1 및 이론적인 주파수가 표에 생성됩니다. 9.5.

표 95

지수법칙에 따른 경험적 주파수 정렬

경험적 데이터 엑스	경험적 빈도 티			이론적인 주파수

우리는 그림 1에 지수 분포의 경험적 및 이론적 빈도를 그래픽으로 묘사합니다. 9.14.

지수 분포는 Weibull-Gnedenko 분포의 특별한 경우입니다(양식 매개변수의 값에 해당). 비 = 1).

지수분포 법칙신뢰성의 기본 법칙이라고도 불리는 이 법칙은 제품이 정상적으로 작동하는 동안 신뢰성을 예측하는 데 자주 사용됩니다. 점진적인 실패아직 등장하지 않았으며 신뢰성이 특징입니다. 갑작스러운 실패.이러한 실패는 여러 상황의 불리한 조합으로 인해 발생하므로 영구적인 영향을 받습니다. 강함.지수 분포는 대기열 이론에서 매우 널리 사용되며, 복잡한 제품의 고장과 전자 장비 요소의 고장 없는 작동 시간 사이의 시간 분포를 설명합니다.

갑작스러운 고장을 일으키는 기계 부품의 불리한 작동 조건 조합에 대한 예를 들어 보겠습니다. 기어 트레인의 경우 이는 맞물릴 때 가장 약한 톱니에 대한 최대 하중의 영향일 수 있습니다. 전자 장비 요소의 경우 허용되는 전류 또는 온도 조건을 초과합니다.

지수법칙(그림 1)의 분포 밀도는 다음 관계식으로 설명됩니다.

에프(엑스) = λ 이자형 −λ 엑스; (3)

이 법칙의 분포 함수는 다음과 같습니다.

에프(엑스) = 1− 이자형 −λ 엑스; (4)

신뢰성 함수

피(엑스) = 1− 에프(엑스) = 이자형 −λ 엑스; (5)

확률 변수의 수학적 기대 엑스

확률변수 분산 엑스

(7)

신뢰성 이론의 지수 법칙은 실제 사용이 간단하기 때문에 폭넓게 적용됩니다. 신뢰도 이론에서 해결되는 거의 모든 문제는 다른 분포 법칙을 사용할 때보다 지수 법칙을 사용할 때 훨씬 더 간단한 것으로 나타납니다. 이러한 단순화의 주된 이유는 지수 법칙을 사용하면 무고장 작동 확률이 간격의 지속 시간에만 의존하고 이전 작동 시간에는 의존하지 않는다는 것입니다.

무화과. 1. 지수분포의 밀도 그래프

예시 2.발전기의 작동 데이터에 기초하여 고장 사이의 시간은 매개변수 λ=2*10 -5 h -1 의 지수 법칙을 따르는 것으로 확인되었습니다. 시간 경과에 따른 무고장 작동 확률 찾기 티=100시간 고장 사이의 시간에 대한 수학적 기대치를 결정합니다.

해결책 무고장 작동 확률을 결정하기 위해 공식 (5)를 사용합니다.

고장 사이의 시간에 대한 수학적 기대치는 다음과 같습니다.